Recherches en éducation : mathématiques expérimentales - Activités de modélisation dans l'enseignement des mathématiques au travers des problèmes historiques

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Rapport final

Introduction

Recherches en éducation - rapport final - mathématiques expérimentales - activités de modélisation dans l'enseignement des mathématiques au travers des problèmes historiques - introduction

Les séquences à expérimenter

La genèse des équations

Cette séquence aborde le second degré à travers des problèmes qui ont leur origine chez les Babyloniens et les Grecs. Les mathématiques babyloniennes, essentiellement calculatoires, permettent de découvrir les formules de résolution des équations du second degré. Un problème géométrique grec met en évidence une analogie avec les calculs babyloniens. Enfin, les Arabes, héritiers des deux traditions, imposent l’algèbre.

La découverte des irrationnel(le)s

La tablette YBC 7289 prouve que les Babyloniens possédaient déjà une bonne approximation de V2 . En ce qui concerne la période grecque, l'irrationalité de V2 est abordée à la fois de manière algébrique et de manière géométrique en liaison avec la notion de grandeurs commensurables. La séquence, gorgée d’anecdotes historiques, s’achève par la célèbre approximation due à HERON D'ALEXANDRIE.

Second degré et chaos

A la base de ce problème, se trouvent le mathématicien Belge du 19 ème siècle FRANÇOIS VERHULST et le météorologue EDWARD LORENZ. Cette séquence permet de déboucher sur le chaos en utilisant uniquement le second degré. La constante de FEIGENBAUM, universelle au même titre que les célèbres nombres « pi » et « e », apparaît au sein du désordre. De l’histoire moderne...

Histoires coniques : la parabole

Que de grands noms jalonnent l'histoire de cette célèbre conique ! Que de domaines d'applications différents ! Le grand APOLLONIUS nous permet d'apprécier le génie grec de la démonstration dans toute sa splendeur et GALILEE nous livre l'étonnante clarté de sa pensée.

Le nombre « pi» et le cercle

Cette séquence est destinée à faire découvrir le nombre « p » au travers de sa nature première, en liaison avec le cercle. Pour ce faire, deux points de vue sont envisagés : la méthode classique d'ARCHIMEDE et celle, plus exotique, due à LIU HUI (mathématicien chinois ancien). Cette dernière est basée sur le dédoublement des cotés d'un hexagone de départ (mais les différences avec ARCHIMEDE ne s'arrêtent pas là).

De la « ligne » au vecteur

Si les notations algébriques permettent une résolution élégante de problèmes numériques, les relations entre objets géométriques, quant à elles, sont plus difficiles à quantifier. LEIBNIZ, le premier, perçoit la nécessité d’établir un formalisme propre à la géométrie. Avant d’aborder le concept abstrait de vecteur, introduisons le segment orienté au travers des textes de BELLAVITIS. Direction, sens, longueur, loi de CHASLES, … tout apparaît de manière logique et structurée. Le problème classique du pont clôture la séquence.

Des lieux plans au fil du temps

Les lieux plans sont des lieux géométriques faisant intervenir uniquement des droites et des cercles. Le « grand géomètre » APPOLONIUS s’y est intéressé. D’autres lui ont succédé. Nous nous penchons plus particulièrement sur l’œuvre de FERMAT. C’est l’occasion de revoir de nombreuses notions géométriques et d’en aborder de nouvelles.

Un problème de Fermat

A travers un problème de minimisation soumis par FERMAT à TORRICELLI, un lieu géométrique classique apparaît : l'ellipse. Un problème qui peut se résoudre de nombreuses façons, dans des cadres différents et se discuter.

Contacts

Service de Logique Mathématique et Algèbre
Nadine JOELANTS
Christian MICHAUX
Frédéric POURBAIX
Le Pentagone
Avenue du Champ de Mars, 6
7000 Mons
Tel: 065/37.35.07 - Fax:065/37.33.18
Mail : nadine.joelants@skynet.be, christian.michaux@umh.ac.be,

Article de synthèse

Recherches en éducation - article de synthèse - mathématiques expérimentales - activités de modélisation dans l'enseignement des mathématiques au travers des problèmes historiques

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